Calculadora de Logaritmo Online

O que é um logaritmo?

O logaritmo é a operação inversa da potenciação. Ele responde à pergunta: "a que expoente preciso elevar a base para chegar a um certo número?". A definição é:

$\log_b(x) = y$

que equivale a dizer que:

$b^y = x$

Onde:

• b é a base do logaritmo (maior que zero e diferente de 1);
• x é o número do qual queremos o logaritmo (maior que zero);
• y é o resultado, ou seja, o expoente procurado.

As bases mais usadas são 10 (logaritmo decimal, escrito log) e o número e ≈ 2,71828 (logaritmo natural, escrito ln).

Como calcular um logaritmo passo a passo

Exemplo 1: logaritmo decimal de 100

Queremos log₁₀(100), ou seja, o expoente y tal que:

$10^y = 100$

Como 10 × 10 = 100, isto é, 10² = 100, o expoente é 2:

$\log_{10}(100) = 2$

A calculadora acima chega ao mesmo resultado pela mudança de base (ln 100 ÷ ln 10 = 2) e ainda confere que 10² = 100.

Exemplo 2: logaritmo de 8 na base 2

Queremos log₂(8), o expoente y tal que:

$2^y = 8$

Multiplicando o 2 por ele mesmo: 2 × 2 = 4 e 4 × 2 = 8. Foram 3 fatores, logo 2³ = 8 e:

$\log_{2}(8) = 3$

Logaritmo natural (base e)

Quando a base é o número e ≈ 2,71828, falamos em logaritmo natural, ln. O resultado costuma ser decimal — e a calculadora acima também resolve esses casos pela mudança de base. Por exemplo, o logaritmo natural de 7 procura o expoente y na igualdade eʸ = 7:

$\ln(7) \approx 1{,}94591$

Isso quer dizer que 2,71828 elevado a 1,94591 resulta em aproximadamente 7.

Propriedades dos logaritmos

Estas regras transformam multiplicações em somas e potências em produtos, simplificando contas.

Produto

$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$

Quociente

$\log_b\!\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$

Potência

$\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)$

Mudança de base

$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}$

Essa última é útil quando a calculadora só oferece log (base 10) ou ln (base e).

Aplicação no dia a dia

Escala Richter (terremotos)

A magnitude de um terremoto na escala Richter é logarítmica de base 10: cada ponto a mais significa 10 vezes mais amplitude. Um tremor de magnitude 6 tem amplitude 10² = 100 vezes maior que um de magnitude 4, porque a diferença de magnitude é o logaritmo da razão entre as amplitudes:

$\log_{10}\!\left(\frac{A_6}{A_4}\right) = 6 - 4 = 2$$\frac{A_6}{A_4} = 10^2 = 100$

pH de uma solução (química)

O pH mede a acidez e é definido como o logaritmo decimal negativo da concentração de íons de hidrogênio. Para uma concentração de 0,001 mol/L, ou seja, 10⁻³:

A solução tem pH 3 (ácida).

Tempo para dobrar um capital

Quanto tempo um investimento leva para dobrar a uma taxa de juros compostos? Partindo da igualdade C × (1 + i)ᵗ = 2C, dividimos por C e aplicamos logaritmo, chegando a:

$t = \frac{\log(2)}{\log(1 + i)}$

Com uma taxa de 10% ao período (i = 0,10):

Ou seja, o capital dobra em aproximadamente 7,3 períodos.

Logaritmo e exponenciação

Logaritmo e potenciação desfazem um ao outro. Como log₂(8) = 3, então 2³ = 8 — e vice-versa. Por isso, sempre que precisar isolar um expoente desconhecido em uma equação como bˣ = n, o logaritmo é a ferramenta certa.

Perguntas frequentes