Como calcular a área total do cilindro

O cilindro é formado por duas bases circulares iguais e uma superfície lateral. Por isso, a área total soma as duas bases com a lateral:

$A_{\text{base}} = \pi r^2$ $A_{\text{lateral}} = 2 \pi r h$ $A_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

onde r é o raio da base, h é a altura e π ≈ 3,14. Também dá para escrever de forma compacta:

$A_{\text{total}} = 2\pi r (r + h)$

Exemplo 1: raio 3 cm e altura 10 cm

\begin{aligned} A_{\text{total}} &= 2\pi \cdot 3^2 + 2\pi \cdot 3 \cdot 10 \\ &= 18\pi + 60\pi \\ &= 78\pi \\ &= 78 \cdot 3{,}14 \\ &= 244{,}92 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Portanto, a área total é 244,92 cm².

Calculamos cada parte e somamos:

\begin{aligned} 2\pi r^2 &= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2^2 = 25{,}12 \\ 2\pi r h &= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 2 \cdot 5 = 62{,}8 \\ A_{\text{total}} &= 25{,}12 + 62{,}8 = 87{,}92 \text{ cm}^2 \end{aligned}

Portanto, a área total é 87,92 cm².

Uma caixa d'água cilíndrica tem 1 m de raio e 1,5 m de altura. Quanta chapa (em m²) é preciso para revestir o tampo, o fundo e a lateral?

\begin{aligned} 2\pi r^2 &= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1^2 = 6{,}28 \\ 2\pi r h &= 2 \cdot 3{,}14 \cdot 1 \cdot 1{,}5 = 9{,}42 \\ A_{\text{total}} &= 6{,}28 + 9{,}42 = 15{,}7 \text{ m}^2 \end{aligned}

São cerca de 15,7 m² de chapa. O mesmo cálculo serve para estimar o rótulo de uma lata, a tinta de um tambor ou o papel para encapar um tubo.

Somar só uma base: o cilindro fechado tem duas bases, então a parte das bases é 2πr², não πr².
Trocar raio por diâmetro: se o problema der o diâmetro, divida por 2.
Misturar unidades: raio e altura precisam estar na mesma unidade antes de multiplicar.

A área total é A = 2πr² + 2πrh, ou de forma compacta A = 2πr(r + h). O termo 2πr² são as duas bases e 2πrh é a área lateral.

Porque o cilindro tem duas bases circulares iguais (o tampo e o fundo). A área de uma base é πr², então as duas juntas valem 2πr².

A área lateral é 2πrh. Ela equivale a "desenrolar" a lateral em um retângulo de base 2πr (o comprimento da circunferência) e altura h.