Calculadora de Equação de 2º Grau

Calculadora de equação do segundo grau

Esta calculadora online resolve qualquer equação do segundo grau no formato ax² + bx + c = 0. Você digita os coeficientes a, b e c e recebe a resposta em destaque, o passo a passo pela fórmula de Bhaskara, o discriminante (delta), o vértice e o eixo de simetria, a conferência por soma e produto, a forma fatorada e o gráfico da parábola. Quando o delta é negativo, ela também mostra as raízes complexas. É simples para quem está vendo o assunto pela primeira vez e completa para quem só quer conferir um cálculo.

O que é uma equação do segundo grau?

Uma equação do segundo grau (ou equação quadrática) é toda igualdade que pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. O valor de x que torna a igualdade verdadeira é chamado de raiz (ou solução) da equação. Uma equação do segundo grau pode ter duas raízes reais, uma raiz real (dupla) ou nenhuma raiz real — nesse último caso, as soluções são números complexos.

Os coeficientes a, b e c

• a é o coeficiente de x² (o termo quadrático). Ele não pode ser zero, senão a equação deixa de ser do segundo grau.
• b é o coeficiente de x (o termo linear).
• c é o termo independente (o número sem x).

Quando b ou c valem zero, a equação é chamada de incompleta — e há atalhos para resolvê-la sem usar toda a fórmula de Bhaskara, como mostramos nos exemplos.

O discriminante (delta) e a fórmula de Bhaskara

O primeiro passo é calcular o discriminante, representado pela letra grega delta (Δ):

$\Delta = b^2 - 4ac$

O sinal do delta diz quantas raízes reais a equação tem:

• Δ > 0: duas raízes reais e diferentes.
• Δ = 0: uma raiz real dupla (as duas raízes são iguais).
• Δ < 0: nenhuma raiz real; as soluções são dois números complexos conjugados (a ± bi).

Em seguida, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Em Portugal, essa mesma expressão é chamada de fórmula resolvente — é exatamente a fórmula de Bhaskara que usamos aqui, com o mesmo passo a passo.

Como usar a calculadora

Digite os valores de a, b e c nos campos correspondentes e clique em Calcular. Para equações incompletas, deixe o campo de b ou de c em branco (ele será tratado como zero). Você pode escolher o número máximo de casas decimais do resultado. A calculadora mostra:

• a resposta em destaque (as raízes);
• o delta em um cartão de leitura rápida;
• o passo a passo completo em notação matemática;
• o gráfico da parábola, com as raízes e o vértice marcados;
• os detalhes do vértice e do eixo de simetria, a conferência por soma e produto e a forma fatorada.

Exemplos resolvidos passo a passo

Equação completa com duas raízes (Δ > 0): x² − 5x + 6 = 0

Aqui a = 1, b = −5 e c = 6. Primeiro calculamos o discriminante, passo a passo:

Como o delta é maior que zero, há duas raízes reais. Aplicamos a fórmula de Bhaskara:

O sinal ± significa fazer a conta com + e com −:

Conferindo pela soma e produto: 3 + 2 = 5 = −b/a e 3 · 2 = 6 = c/a. A forma fatorada fica:

$(x - 3)(x - 2) = 0$

Raiz dupla (Δ = 0): x² − 4x + 4 = 0

Com a = 1, b = −4 e c = 4, calculamos o delta:

Como Δ = 0, há uma única raiz (dupla), pela fórmula simplificada:

A forma fatorada é um trinômio quadrado perfeito:

$(x - 2)^2 = 0$

Sem raízes reais (Δ < 0): x² + x + 1 = 0

Com a = 1, b = 1 e c = 1, o delta fica negativo:

Como o delta é negativo, não há raízes reais. Usando a unidade imaginária i (em que i² = −1), a raiz de um número negativo vira √(−3) = √3 · i, e as soluções são dois complexos conjugados:

Ou seja, x ≈ −0,5 ± 0,87i.

Equação incompleta sem o termo c: 2x² − 8x = 0

Quando falta o termo independente (c = 0), colocamos x em evidência:

Um produto é zero quando um dos fatores é zero, então x = 0 ou x = 4. Nesse tipo de equação, uma das raízes é sempre zero.

Equação incompleta sem o termo b: 3x² − 12 = 0

Quando falta o termo linear (b = 0), basta isolar o x²:

Outras formas de resolver

Soma e produto (relações de Girard)

Para uma equação ax² + bx + c = 0, a soma e o produto das raízes valem:

$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$$P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

Quando as raízes são números inteiros, dá para encontrá-las de cabeça procurando dois números cuja soma e produto batem com S e P. Em x² − 5x + 6 = 0, procuramos dois números que somam 5 e multiplicam 6: são 2 e 3.

Fatoração

Conhecendo as raízes x₁ e x₂, a equação pode ser reescrita na forma fatorada, que deixa as raízes visíveis:

$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Completar quadrados

O método de completar quadrados transforma a equação em um quadrado perfeito. Por exemplo, em x² − 6x + 5 = 0:

É a técnica que dá origem à própria fórmula de Bhaskara.

Vértice, concavidade e gráfico

O gráfico de y = ax² + bx + c é uma parábola. Quando a > 0 a concavidade é para cima (o vértice é um ponto de mínimo); quando a < 0 a concavidade é para baixo (o vértice é um ponto de máximo). As coordenadas do vértice são:

$x_v = -\dfrac{b}{2a}$$y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$

A reta vertical x = x_v é o eixo de simetria da parábola, e os pontos onde a curva cruza o eixo x são exatamente as raízes da equação.

Onde a equação do segundo grau aparece

• Física: no movimento de projéteis, a altura em função do tempo é uma equação do segundo grau; as raízes indicam quando o objeto toca o chão.
• Geometria: em problemas de área que envolvem um lado desconhecido.
• Economia: em modelos de receita e lucro, o vértice da parábola indica o valor de máximo ou de mínimo.

Erros comuns

• Esquecer o sinal de −b na fórmula (especialmente quando b já é negativo).
• Dividir apenas uma parte do numerador por 2a, em vez do numerador inteiro.
• Concluir que a equação não tem solução quando Δ < 0 — na verdade, ela tem soluções complexas.
• Usar a fórmula com a = 0: nesse caso a equação é do primeiro grau, não do segundo.
• Confundir as raízes (onde y = 0) com o vértice (ponto de máximo ou mínimo).

Perguntas frequentes

Referências

• Equação do 2º grau - Brasil Escola