O que é fatorial?

O fatorial de um número natural é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a ele. Escrevemos com um ponto de exclamação depois do número: n! (lê-se "n fatorial"). A fórmula geral, base do cálculo do fatorial, é:

\begin{aligned} n! = n &\times (n-1) \times (n-2) \\ &\times \cdots \times 2 \times 1 \end{aligned}

Por convenção, o fatorial de zero vale 1:

$0! = 1$

O fatorial só é definido para números inteiros não negativos. Para números negativos ele não existe.

Como calcular o fatorial passo a passo

Basta multiplicar o número por todos os inteiros positivos abaixo dele, até chegar em 1.

Exemplo 1: fatorial de 5

Aplicando a definição e multiplicando um fator de cada vez:

\begin{aligned} 5! &= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &= 20 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &= 60 \times 2 \times 1 \\ &= 120 \times 1 \\ &= 120 \end{aligned}

Portanto, 5! = 120.

Exemplo 2: fatorial de 10

O fatorial cresce muito rápido. Para n = 10:

\begin{aligned} 10! &= 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \\ &\quad \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &= 3.628.800 \end{aligned}

Um atalho útil é usar o fatorial anterior, já que n! = n × (n − 1)!. Como 9! = 362.880, basta multiplicar por 10:

\begin{aligned} 10! &= 10 \times 9! \\ &= 10 \times 362.880 \\ &= 3.628.800 \end{aligned}

Portanto, 10! = 3.628.800.

Aplicação no dia a dia: de quantas formas organizar uma fila?

Imagine 5 pessoas esperando para tirar uma foto, lado a lado. De quantas maneiras diferentes elas podem ficar enfileiradas?

Na primeira posição cabem 5 pessoas; sobrando 4 para a segunda; 3 para a terceira; 2 para a quarta; e 1 para a última. O total de ordens possíveis é justamente o fatorial de 5:

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Ou seja, existem 120 filas diferentes para essas 5 pessoas. Esse mesmo raciocínio vale para embaralhar cartas, montar a ordem de apresentações ou definir a sequência de tarefas: o número de permutações de n elementos distintos é sempre n!.

Por que 0! = 1?

Parece estranho, mas faz sentido pela regra n! = n × (n − 1)!. Reescrevendo para n = 1:

$1! = 1 \times 0!$

Como 1! = 1, a única forma de a igualdade valer é ter 0! = 1. Em contagem, isso corresponde a dizer que só existe uma maneira de organizar um conjunto vazio: não fazer nada.

O crescimento explosivo do fatorial

O fatorial dispara conforme n aumenta. Veja a comparação:

n	n!
0	1
1	1
5	120
10	3.628.800
20	2.432.902.008.176.640.000

Repare no salto: enquanto 10! = 3.628.800, o 20! = 2.432.902.008.176.640.000 — mais de dois quintilhões. Por isso, para valores grandes, vale usar a calculadora acima.

Fatorial, permutações e combinações

O fatorial é a base da análise combinatória. As permutações contam todas as ordens possíveis de n elementos:

$P_n = n!$

Já as combinações contam de quantas formas escolher k elementos entre n, sem que a ordem importe:

$C_{n,k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!}$

Por exemplo, o número de maneiras de escolher 2 frutas entre 4 disponíveis é:

\begin{aligned} C_{4,2} &= \frac{4!}{2! \,(4-2)!} \\ &= \frac{24}{2 \times 2} \\ &= \frac{24}{4} \\ &= 6 \end{aligned}

Perguntas frequentes

Quanto é o fatorial de 5?

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Por que o fatorial de 0 é igual a 1?

Pela regra n! = n × (n − 1)!, ao fazer n = 1 temos 1! = 1 × 0!. Como 1! = 1, é preciso que 0! = 1. Em contagem, há exatamente uma forma de organizar um conjunto vazio.

Existe fatorial de número negativo?

Não. O fatorial só é definido para números inteiros não negativos. Para números reais e complexos, existe uma extensão chamada função gama, em que Γ(n) = (n − 1)! para inteiros positivos.

Calculadora de Fatorial Online