O que é desvio padrão

O desvio padrão mede o quanto os valores de um conjunto se afastam, em média, da média aritmética. Um desvio padrão baixo indica que os valores estão próximos da média (dados homogêneos); um desvio padrão alto indica que os valores estão espalhados (dados dispersos). É uma das medidas de dispersão mais usadas em estatística, finanças e controle de qualidade.

Esta calculadora usa o desvio padrão populacional, que divide a soma dos quadrados pelo número total de elementos (n):

$\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

em que σ é o desvio padrão, xᵢ é cada valor, x̄ é a média e n é a quantidade de valores.

Como calcular o desvio padrão passo a passo

Calcule a média dos valores.
Subtraia a média de cada valor e eleve cada diferença ao quadrado.
Some todos os quadrados.
Divida a soma por n (esse resultado é a variância).
Tire a raiz quadrada da variância.

Exemplo 1: cálculo completo

Calcule o desvio padrão de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9.

Passo 1 — média:

\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} \\ &= \dfrac{40}{8} = 5 \end{aligned}

Passo 2 — diferenças ao quadrado (xᵢ − 5)²:

xᵢ	xᵢ − 5	(xᵢ − 5)²
2	-3	9
4	-1	1
4	-1	1
4	-1	1
5	0	0
5	0	0
7	2	4
9	4	16

Passo 3 — somar os quadrados:

$9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$

Passo 4 — variância (dividir por n = 8):

$\sigma^2 = \dfrac{32}{8} = 4$

Passo 5 — raiz quadrada:

$\sigma = \sqrt{4} = 2$

O desvio padrão é 2.

Exemplo 2: notas de uma prova

Calcule o desvio padrão das notas 7, 8, 9, 6 e 10.

Passo 1 — média:

\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{7 + 8 + 9 + 6 + 10}{5} \\ &= \dfrac{40}{5} = 8 \end{aligned}

Passo 2 — diferenças ao quadrado (xᵢ − 8)²:

xᵢ	xᵢ − 8	(xᵢ − 8)²
7	-1	1
8	0	0
9	1	1
6	-2	4
10	2	4

Passo 3 — somar os quadrados:

$1 + 0 + 1 + 4 + 4 = 10$

Passo 4 — variância:

$\sigma^2 = \dfrac{10}{5} = 2$

Passo 5 — raiz quadrada:

$\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}414$

O desvio padrão é aproximadamente 1,414, o que mostra que as notas variaram pouco em torno da média 8.

No dia a dia: variação de temperatura

Durante uma semana, a temperatura máxima de uma cidade foi 20, 22, 21, 23 e 24 °C. Qual o desvio padrão?

Passo 1 — média:

\begin{aligned} \bar{x} &= \dfrac{20 + 22 + 21 + 23 + 24}{5} \\ &= \dfrac{110}{5} = 22 \end{aligned}

Passo 2 — diferenças ao quadrado (xᵢ − 22)²:

xᵢ	xᵢ − 22	(xᵢ − 22)²
20	-2	4
22	0	0
21	-1	1
23	1	1
24	2	4

Passo 3 — somar os quadrados:

$4 + 0 + 1 + 1 + 4 = 10$

Passo 4 — variância:

$\sigma^2 = \dfrac{10}{5} = 2$

Passo 5 — raiz quadrada:

$\sigma = \sqrt{2} \approx 1{,}414$

O desvio padrão é cerca de 1,414 °C. Como o valor é pequeno, dizemos que a temperatura foi estável ao longo da semana.

Como interpretar o desvio padrão

Quanto maior o desvio padrão, mais dispersos estão os valores em relação à média.
Quanto menor o desvio padrão, mais próximos da média os valores estão.
Um desvio padrão zero significa que todos os valores são iguais.

Perguntas frequentes sobre o desvio padrão

Como interpretar o desvio padrão?

O desvio padrão indica o grau de dispersão dos valores em relação à média. Quanto maior, mais espalhados estão os dados; quanto menor, mais concentrados em torno da média. Um desvio padrão zero significa que todos os valores são iguais.

Qual a diferença entre desvio padrão populacional e amostral?

O desvio padrão populacional divide a soma dos quadrados por n (todos os elementos), enquanto o amostral divide por n menos 1, usado quando se trabalha com uma amostra de um grupo maior. Esta calculadora usa o desvio padrão populacional, dividindo por n.

Qual a relação entre variância e desvio padrão?

A variância é a média dos quadrados das diferenças em relação à média. O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância, o que devolve o resultado à mesma unidade dos dados originais.

Calculadora de Desvio Padrão Passo a Passo